Kata Nasehat Motivasi Sukses Part I

Keep Hamasah...!!!

Nah, buat sobat sekalian yang ingin termotivasi seperti orang sukses berikut akan admin berikan Kata Kata Nasehat Motivasi Sukses Terbaik :

Untuk mengasah logika, tunjang dengan membuka pikiran & banyak belajar. Untuk logika yg sudah luas, seimbangkan dengan kerendah-hatian.

Berkahlah orang yang bekerja keras & jarang mengeluh, namun juga pandai bersyukur, jauh dari serakah, dan suka menolong orang lain

Orang yang terlampau pelit, rejekinya sempit.

Jika kpd diri sendiri saja tidak percaya, bagaimana bisa percaya dengan orang lain?

Percayalah bahwa setiap dari kita berharga dan berarti di dunia ini.

Cara untuk menebus kesalahan di masa lalu adalah dengan memaafkan dirimu di masa kini dan tidak melakukan kesalahan yang sama di masa depan.

Apapun masalah kita, ketahuilah kita tidak sendiri mengalami hal yang sama, dan ketahuilah bahwa Tuhan bersama kita.

Saat ingin marah-marah, ingat konsekuensinya jika dilakukan.

Attitude adl perilaku scr keseluruhan, bukan hanya ttg sopan-santun, tapi dari mind-set, etika sosial, merespon kejadian, penguasaan emosi.

Siapapun bisa jadi pemenang krn sampah jika diolah dengan benar akan jadi sumber daya, tapi sumber daya jika tidak diolah akan jadi sampah.

Sama seperti pelangi yang indah karena warnanya berbeda-beda, hidup pun menjadi indah krn adanya perbedaan.

Seperti kopi, realita hidup kadang terasa pahit tapi itu yang membuat mata kita terbuka.

Seringkali sesuatu terasa sangat berharga setelah kita kehilangannya. Maka itu jaga baik-baik saat masih bersamanya.

Semakin besar rasa pengertian kita, semakin kecil rasa kecewa kita.

Life is not about making others happy, but about sharing happiness, because we can't make others happy before our own selves happy.

Kita tidak bisa menolong orang yang tidak mau menolong dirinya sendiri.

Jika kita tdk bisa memiliki apa yang kita cintai, maka cintailah apa yang kita miliki | If you can't have what you love, love what you have.

Anda akan menemukan bahwa saat Anda pandai membuat alasan-alasan, Anda tdk akan pandai dlm pencapaian sukses

Percayalah bahwa sukses Anda akan jauh lebih bertahan secara permanen apabila Anda mulai membangunnya di atas kualitas karakter yg baik

Anda bertanggung jawab bukan hanya pd apa yg Anda lakukan, tapi juga pd apa yg tdk Anda lakukan.

Situasi yg Anda hadapi mungkin tampak buruk, tapi yg terpenting adlh komitmen Anda utk tetap bertekun meraih sukses Anda

Org optimis punya kebiasaan memandang apapun yg terjd secara positif, sedangkan org pesimis memandang apapun yg terjd secara negatif

Utk meraih sukses jgn mengerjakan sesuatu asal sesuka hati Anda saja, melainkan dgn penuh kedisiplinan dan keseriusan

Berikan selalu lebih dari yg diharapkan dlm Anda bekerja, Maka Anda akan lihat yg terbaik juga akan dtg pd pekerjaan Anda

Jika Anda tdk punya kemauan utk menang, Anda sudah separuh gagal

Jika Anda punya kemauan utk menang, Anda sudah separuh sukses.

Belajarlah selalu dari pengalaman hidup Anda

Ada dua cara mengatasi kesulitan, Anda mengubah kesulitan atau Anda mengubah diri sendiri utk dpt mengatasinya

Perubahan biasanya terjd ketika Anda mulai menyadari, bahwa yg menentukan apakah Anda sukses atau gagal ternyata adlh diri Anda sendiri

Byk org menunggu krisis baru mau berubah, sedangkan org sukses berubah ke arah yg lebih baik krn punya kesadaran diri

Hampir semua org sukses mencintai apa yg mrk kerjakan

Anda akan sulit meraih sukses sejati, jika Anda tdk mencintai pekerjaan Anda sepenuh hati.

Banyak org bermimpi jd sukses, sementara yg lain juga bermimpi dan mulai bertindak utk menjdkan sukses mrk kenyataan

Utk sukses kadang Anda hrs lalui kegagalan dulu agar Anda tahu apa yg hrs dilakukan pd langkah berikutnya dgn lebih baik dan tepat

Sukses lebih sering dtg pd org yg berani bertindak dan mencoba sesuatu yg baru. Jarang dtg pd org yg takut ambil resiko dan cari aman

Milikilah keyakinan yg kuat bahwa Anda pasti sukses

Kt tdk selalu mendptkan apa yg kt inginkan, namun kt akan selalu mendptkan apa yg kt yakini.

Sukses tdk diukur hanya dr posisi yg sudah berhasil Anda raih, tapi juga dr hambatan & kesulitan yg berhasil Anda atasi dlm kehidupan

Raih apa yg Anda impikan dgn menghilangkan kata TDK BISA dan TDK MUNGKIN dari pikiran dan perkataan Anda

Buat rencana yg pasti utk meraih impian Anda dan segera ambil tindakan tiap hari yg akan membawa Anda semakin dekat kepd impian Anda

Ayo tetap semangat utk meraih sukses Anda!

Ketika seseorg tdk lagi memiliki semangat dlm kehidupannya, maka ia akan segera kehilangan segalanya.

Belajarlah selalu dari masa lalu Anda, lakukanlah yg terbaik di masa kini, dan berharaplah utk masa depan yg lebih baik.

Anda baru gagal ketika Anda benar-benar berhenti utk mencoba

Jgn mudah menyerah kalau Anda sadar sebenarnya Anda masih mampu berusaha.

Berusahalah utk terus fokus pd pengembangan diri Anda setiap hari

Jika Anda tdk bisa menaklukkan diri Anda, maka Anda akan ditaklukkan oleh diri Anda. Sukses hanya milik org-org yg mampu menguasai dirinya

Ketika Anda melakukan sesuatu, lakukanlah selalu dgn tingkat antusias yg tinggi serta sepenuh hati

Antusias adlh bahan bakar utk meraih sukses.

Setiap kali Anda mengalami kegagalan dlm meraih tujuan sukses Anda, maka segera jdkan kegagalan itu motivasi bagi Anda utk mengubah

Utk mencapai sukses, tdk cukup hanya memiliki impian tetapi Anda hrs memiliki keyakinan, strategi dan mengambil tindakan utk mewujudkannya

Sikap positif dapat menciptakan energi yg hebat

Tdk ada yg akan mampu menahan seseorg yg memiliki sikap mental positif utk meraih sukses.

Apapun yg terjd selalu ambil kendali dan tanggung jawab penuh atas hidup Anda, jgn suka menyalahkan keadaan, situasi dan org lain

Org yg bekerja dgn perasaan bahagia pasti lebih produktif

Kesuksesan bukanlah kunci kebahagiaan, justru kebahagiaan adlh kunci kesuksesan.

Jika Anda sungguh mencintai apa yg Anda kerjakan dan percaya pd apa yg Anda kerjakan. Berarti Anda di jalur yg tepat menuju sukse

Jika Anda ingin sukses, carilah seseorg yg telah mencapai hasil yg Anda inginkan, tirulah apa yg mrk lakukan utk mendptkan hasil yg sama

Setiap kali Anda mengucapkan kata TDK MUNGKIN, perkataan itu hanya akan menghalangi Anda melihat sebuah keajaiban utk sukses

Baca buku, ikut seminar sukses yg dpt menginspirasi Anda.

Berusahalah utk mengembangkan diri Anda setiap hari agar menjd pribadi yg lebih baik.

Kebiasaan buruk pd akhirnya selalu mendtgkan penyesalan

Kalahkan kebiasaan buruk Anda, atau kebiasaan buruk itulah yg akan mengalahkan Anda.

Awalnya kitalah yg membentuk kebiasaan kt, kemudian kebiasaan itulah yg membentuk hidup kt

Kembangkanlah kebiasaan yg baik tiap hari.

Jika Anda rela membayar harganya maka Anda akan segera meraih sukses.

Kerja keras adlh harga yg hrs dibayar utk sebuah kesuksesan.

Sukses hrs diawali dgn suatu perubahan, perubahan yg utama adlh perubahan dari cara berpikir Anda.

Tdk ada nasib yg buruk, yg ada hanyalah pilihan-pilihan buruk dan kebiasaan-kebiasaan buruk.

Yakinlah bahwa Anda telah diciptakan Tuhan utk sukses, mulai maksimalkan semua potensi yg Anda miliki

Sukses tdk ditentukan dari hoki dan ramalan.

Ayo dobrak setiap batasan dlm diri kita.

Tantanglah diri Anda selalu dgn melakukan sesuatu yg selama ini Anda anggap tdk mampu Anda lakukan.

Masalah adlh kesempatan bagi Anda utk berubah dan belajar melakukan yg terbaik dlm kehidupan.

Mulai tingkatkan area keuangan, keluarga, rohani, hubungan dan kesehatan Anda. Jika Anda melakukannya, seluruh hidup Anda akan membaik.

Jgn terlalu lama menyesali pintu yg sudah tertutup, krn mungkin masih ada satu pintu kesempatan lagi yg terbuka utk Anda.

Sebesar dan sesulit apa pun masalah yg Anda hadapi, singkirkan kebingungan mulailah ambil satu langkah kecil menuju solusi.

Kata Mutiara Part I

Nah buat kamu semua yang ingin segera mendapatkan jodoh berikut akan admin berikan Kata Kata Mutiara Cinta Islami Penuh Makna :

Allah selalu memberikan senyum dibalik kesedihan. Allah selalu memberikan Harapan dibalik keputus-asaan..

Ingatlah.. Allah selalu memberikan kelebihan dibalik kekurangan.. Allah selalu memberikan Kekuatan dibalik kelemahan..

Kita punya RENCANA. Allah juga punya RENCANA

Akan tetapi sehebat apapun kita merencanakan sesuatu. Tetap rencana Allah adalah sebaik-baiknya rancangan.

Ketika perjalanan hidup terasa MEMBOSANKAN. Maka Allah menyuruh kita untuk banyak BERSYUKUR.

Ketika kesedihan menjatuhkan AIR MATA Maka Allah meminta kita untuk berusaha TERSENYUM .

Ketika kita menginginkan sesuatu yang tak kunjung DIDAPATKAN. Maka Allah meminta kita untuk sabar MENUNGGU.

★ ... Ku hampiri seribu wajah, menampilkan bayangmu.. Berpendar suka cita dalam harap cinta..

Sesungguhnya SABAR akan indah jika kita selalu dekat dgn ALLAH InsyaAllah.

Karena hidup ini terlalu singkat dan berharga jika di buang dengan orang yang TIDAK TEPAT (bukan jodoh kita)...

Lebih baik MENUNGGU orang yang benar-benar kita harapkan.. Daripada menghabiskan waktu dengan orang yang tidak tepat..

Cinta bukan tentang bagaimana perasaan itu muncul.. Tapi bagaimana perasaan itu agar tetap utuh...

Cinta bukan tentang jarak yang memisahkan.. Tapi tentang kepercayaan satu sama lain..

CINTA itu seperti menanam sebuah pohon, Jika kita SABAR pohon itu bisa menjadi pohon yang sangat besar dan kuat..

YA RABBANAA. Yg kami inginkan hanyalah kesempurnaan cinta_MU.. Karena hanya begitulah tidak akan ada rasa terluka dan kecewa pada akhirnya..

YA RABBANAA.. Satukan kekurangan kami dalam Ridha_MU.. Agar kekurangan itu dapat melebur menjadi kesempurnaan.

YA RABBANAA.. Satukan kami dalam naungan cinta_MU.. Dan cintakan kami pada kebaikan.. Agar cinta kami dapat menyatu menjadi kebaikan..

Aku tak berharap kesempurnaanmu.. Kerana aku ingin melengkapinya dengan kekuranganku..

Aku tak berharap di pertemukan denganmu.. Tapi aku meminta dipersatukan dalam cinta_NYA..

Jika aku disini menanti, ku harap kau disana menjaga.. Jika aku disini berdo’a, ku harap kau disana setia..

Semoga kasihmu pada_NYA membuatmu mampu bertahan dalam perpisahan yang panjang ini..

Semoga cintamu pada_NYA menjagamu dari angin2 keburukan yang mampu membuatmu lalai akan perintah_NYA.

Untukmu yang jauh disana.. Ku harap kau slalu menjaga hatimu.. Seperti disini aku menjaga hatiku..

~* Untukmu yang jauh disana, Berdinding jarak dan waktu, Berbatas ruang diantara kita..

Tanpa pernah merasa kecewa karena dia tidak bisa menjadi sempurna seperti apa yang kamu minta..

Jagalah ia dengan segenap jiwa ragamu.. Dan trimalah ia apa yang ada pada dirinya

Cintailah ia dengan hatimu.. Sayangilah ia dengan penuh ketulusan..

Di saat engkau menyakitinya.. Maka lihatlah saat dia rela meneteskan air matanya untukmu agar engkau selalu bahagia

Disaat engkau ingin mncapakkannya begitu saja Maka ingatlah dia yg slalu brusaha untuk menjadi pelangi ketika awan kelabu menyelimuti dirimu

Disaat engkau ingin mnduakan pasangan hidupmu Maka ingatlah dia yg slalu setia dsampingmu ketika kamu butuh seseorang yg mampu mbuatmu tegar

Cintailah seperti kamu mencintai dirimu sendiri.. Begitu juga sayangilah, orang yang kamu sayangi seperti kamu menyayangi dirimu sendiri

"Sesunguhnya dibalik kesusahan ada kemudahan" "dibalik kesedihan ada kebahagiaan" "Maha suci Allah menciptakan segala sesuatu berpasangan"

Allah Menjanjikan bahwa semua itu akan INDAH PADA WAKTUNYA.

Menitipkan Sukacita di setiap dukacita Menitipkan Harapan di setiap keraguan

Allah menitipkan kelebihan di setiap kekurangan Menitipkan Kekuatan di setiap kelemahan

Kita merancang, Allah juga merancang.. Tetapi perancangan Allah lebih baik..

Saat segalanya terasa "MEMBOSANKAN", namun ALLAH berkata "TERUSLAH MELANGKAH"

Saat AIR MATA harus menetes, namun ALLAH berkata "TERSENYUMLAH"

RENCANA ALLAH itu BAIK Saat hati berkata " INGIN ", namun ALLAH berkata "TUNGGU".

Ya Allah, jika dia memang bukan untukku, berikan aku keikhlasan untuk bisa merelakannya bersama dengan orang lain."

Jika suatu saat nanti kehilangan.. Maka LEPASKANLAH DENGAN PENUH KEIKHLASAN

Cintailah seseorang dengan kesedrhanaan Rindukanlah seseorang dengan kesederhanaan

karena : Jika Suatu saat Nanti engkau kehilangannya..engkau tidak akan terlalu berat untuk melepaskannya.

jika engkau merindukan seseorang.. Maka Rindukanlah sekedarnya saja.. Janganlah Terlalu berharap Janganlah terlalu menginginkan

Untuk mu Sekarang... Jika engkau mencintai seseorang.. Maka Cintailah sekedarnya saja

Dan Kini aku Sadar.. Bahwa Terlalu berharap padamu adalah suatu kesalahan yang besar bagiku..

Aku sadar.. Bahwa Terlalu menginginkanmu adalah Suatu kesalahan yang Fatal bagiku

Aku sadar.. Bahwa Terlalu mencintaimu adalah suatu kesalahan besar bagiku

Aku sadar.. Bahwa terlalu merindukan kehadiranmu adalah suatu kesalahan bagiku

jika kamu berlayar pada lautan cinta pastikanlah kamu tau cara untuk mengarunginya

ta'aruf adalah cara pdkt dalam islam

Cinta yg taakan terkhianati adalah cinta kepada Illahi

Dan dialah sebenarnya yang masih mempedulikan kita. Yang akan membuat hidupmu berbalut bahagia penuh senyuman

Ketika kita pergi bersembunyi hanyalah untuk ditemukan. Ketika kita berjalan jauh hanyalah untuk melihat siapa yang masih setia mengikuti.

Pilih seorang mampu mengerti pikiranmu disaat engkau terdiam. Yg mampu merasakan kasih sayangmu disaat kemarahanmu.

Terkadang engkau harus berbicara pelan.. Agar engkau tahu siapa yang masih mau mendengarkanmu.

Pelajaran Matematika (Kumpulan Video)

Silahkan Klik Link di bawah ini.... :)
Simak ya.... & Perhatikan....

1. https://www.youtube.com/watch?v=iRKH38UNjtQ (Menghitung Volume Kerucut)
2. https://www.youtube.com/watch?v=sjHyvoSB9DQ (Menghitung Volume Tabung)
3. https://www.youtube.com/watch?v=DWQQJV0M1L8 (Pembahasan Soal-Soal Olimpiade)
4. https://www.youtube.com/watch?v=cqboGvqU6SQ (Trik Matematika Perkalian)
5. https://www.youtube.com/watch?v=urmWwED5DGQ (Rumus Matematika Jarimatika)
6. https://www.youtube.com/watch?v=mxHyvYVu1VU
 (Perkalian Bilangan 2 digit dengan Bilangan  2 digit)
7. https://www.youtube.com/watch?v=zhBechQfdYg&index=9&list=PL3BBD25A5CD7C8530
    (Penjumlahan 3 digit)
8. https://www.youtube.com/watch?v=zvafXxuxcAU&index=18&list=PL3BBD25A5CD7C8530
    (Rumus Praktis Matematika)

Semangat Belajarnya ya.. :)

"Matematika itu Mudah dan Asyik"

Cara membuat mail merge Ms. Word dan Excel

Maret, 15-2018

Pada kesempatan kali ini, saya ingin memberikan sebuah tips pada kawan-kawan pembaca sekalian, yaitu cara membuat Mail Merge antara Ms. Excel dan Ms. Word. Mail Merge berfungsi untuk menghubungkan data yang ada pada Ms. Excel sehingga dapat di akses di Ms. Word. Biasanya Mail Merge ini digunakan untuk membuat undangan atau daftar yang memiliki format yang sama dan data yag digunakan sangat besar, sehingga dapat disimpulkan juga bahwa disini Ms. Excel berfungsi sebagai penyimpanan data/database. Tidak usah panjang lebar lagi, bagaimana cara membuat Mail Merge tersebut ? Mari kita ikuti sama-sama langkah dibawah ini :

1. Langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu kita masuk ke Ms. Excel, setelah itu kita beri nama Sheet yang akan kita gunakan sebagai tempat penyimpanan data, seperti pada gambar dibawah ini :
   
   

   Rename Sheet
2. Setelah kita memberi nama sheet sesuai dengan langkah di atas, lalu kita buat tabel yang kita inginkan sesuai dengan kebutuhan. Sebagai contoh bisa dilihat pada gambar dibawah ini :
   
   

   Tabel
3. Setelah membuat tabel dan data telah di isi, maka simpan file Ms. Excel tadi sesuai dengan nama file yang di inginkan.
4. Langkah selanjutya kita buka Ms. Word, pada Ms. Word ini kita akan membuat format baku yang akan kita gunakan sesuai dengan kebutuhan yang akan kita gunakan. Sebagai contoh, dapat dilihat seperti pada gambar dibawah ini:
   
   

   Format pada Ms. Word
5. Setelah format telah selesai kita buat, pada Ms. Word kita pilih menu Mailings >> Start Mail Merge >>Step by Step Mail Merge Wizard.
   
   

   Menu Mailings
6. Lalu akan muncul menu disamping kanan Ms. Word, Selanjutnya pada menu Select Document Type, pilih Letters >> Next:Starting Document.
   
   

   Document Type
7. Selanjutnya pada menu Select starting document, pilih Use the current document >> Next:Select Recipients
   
   

   Starting Document
8. Pada menu Select recipients, pilih Use an existing list, selanjutnya pilih file Ms. Excel yang disimpan tadi pada menu Browse, pada saat kita membuka file Ms. Excel yang telah kita simpan tadi, akan mucul sheet yang ada pada file Ms. Excel tadi. Selanjutnya kita pilih sheet yang telah kita berinama tadi tempat data tersimpan. Setelah dipilih , lalu lanjutkan dengan memilih Next: Write your letter
   
   

   Recipients
   
   

   Pilih Sheet
9. Selanjutnya untuk memasukan data pada format yang telah kita buat tadi pada Ms. Word, arahkan kursor pada format yang telah kita buat sesuai dengan jenis data yang akan kita tampilkan,lalu kita pilih tab Insert Merge Field. Pada tab ini akan muncul kolom-kolom yang telah kita buat pada Ms. Excel tadi. Lalu pilih kolom-kolom tadi sesuai dengan format yang telah kita buat pada Ms. Word agar data yang telah kita buat pada Ms. Excel dapat ditampilkan pada Ms. Word. Contoh seperti pada gambar berikut :
   
   Menghubungkan file Ms. Excel dengan Ms. Word
10. Untuk menampilkan data , pilih menu Preview Results, maka akan tampil data yang ada pada Ms. Excel tadi. untuk melihat data selanjutnya, dapat dilakukan dengan cara menekan tombol anak panah disamping menu Preview result sesuai dengan nomor yang kita inputkan sebelumnya pada Ms. Excel. Contoh seperti pada gambar dibawah ini :
    
    Menampilkan Data

Demikianlah penjelasan cara membuat mail marge ya brosis... :D, Semoga Bermanfaat dan Berfaedah,,,

"Usaha tidak menghianati hasil"

Pengertian Aljabar dan Klarifikasi Aljabar

Pengertian Aljabar dan Klasifikasi dari Aljabar - Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.

Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton.

Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.

Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).

Asal Mula Aljabar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab "al-jabr" yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.

Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)

Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:

- Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;

- Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;

- Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan

- Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.

Klasifikasi dari Aljabar

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:

1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’);

2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;

3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);

4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.

Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.

Aljabar Elementer

Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.

Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh "Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.")

Teori Graf

TEORI GRAF

GRAF

Secara kasar, graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain. Graf struktur sebuah organisasi dan peta beberapa daerah tampak pada Gambar 1 dan Gambar 2.

                                                                                                                                                     
Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis-garis yang menghubungkan obyek-obyek tersebut. Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antar objek-objek yang tidak mementingkan urutan. Sebagai contoh adalah garis untuk menyatakan jarak hubung 2 kota pada Gambar 2. Jarak dari kota A ke kota B sejauh 200 km akan sama dengan jarak dari kota B ke kota A. Apabila jarak 2 tempat tidak sama jika dibalik (misalnya karena harus melalui jalan memutar), maka garis yang digunakan haruslah garis yang berarah.

Dalam materi ini, graf akan dibahas secara teoretis, baik graf secara umum maupun Tree (pohon) yang merupakan kasus khusus graf yang banyak dipakai dalam ilmu komputer. Terminologi yang dipakai dalam teori graf tidak baku. Dalam buku yang berbeda, sebuah simbol mungkin menyatakan beberapa hal yang berbeda. Hal ini bisa dimaklumi mengingat luasnya aplikasi graf dalam berbagai bidang. Dalam materi ini, diusahakan agar definisi-definisi maupun simbol-simbol yang digunakan merupakan definisi-definisi dan simbol-simbol yang biasa dipakai.

Dasar-Dasar Graf
Definisi 1
Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yng berhingga, yaitu himpunan titik-titik tidak kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis-garis (simbol E(G)).

Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut dinamakan Titik Ujung. Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut Loop. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut Garis Paralel.
Dua titik dikatakan berhubungan (adjacent) jika ada garis yang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut Titik Terasing (Isolating Point)
Graf yang tidak mempunyai titik (sehingga tidak mempunyai garis) disebut Graf Kosong.
Jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah (Directed Graph, atau sering disingkat Digraph). Jika semua garisnya tidak berarah, maka graf-nya disebut Graf Tak Berarah (Undirected Graph). Dalam materi ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graf tak berarah.

Kadang-kadang suatu graf dinyatakan dengan gambar. Gambar suatu graf G terdiri dari himpunan titik-tilik V(G), himpunan garis-garis E(G) yang menghubungkan titik-titik tersebut (beserta arah garis pada graf berarah), dan label pada garisnya (jika ada). Panjang garis, kelengkungan garis, dan letak titik tidak berpengaruh dalam suatu graf.

Contoh 1
Ada 7 kota (A,...,G) yang beberapa di antaranya dapat dihubungkan secara langsung dengan jalan darat. Hubungan-hubungan langsung yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:
    A dengan B dan D
    B dengan D
    C dengan B
    E dengan F
Buatlah graf yang menunjukkan keadaan transportasi di 7 kota tersebut.

Penyelesaian :
Misalkan kota-kota dianggap sebagai titik-titik. Dua titik/kota dihubungkan dengan garis bila dan hanya bila ada jalan yang menghubungkan langsung kedua kota tersebut. Dengan demikian, keadaan transportasi di 7 kota dapat dinyatakan dalam Gambar 3.




                         
                                                                                                                                                  
Dalam graf tersebut e1 berhubungan dengan titik A dan B (keduanya disebut titik ujung e1). Titik A dan B dikatakan berhubungan, sedangkan titik A dan C tidak berhubungan karena tidak ada garis yang menghubungkannya secara langsung.

Titik G adalah titik terasing karena tidak ada garis yang berhubungan dengan G. Dalam interpretasinya, kota G merupakan kota yang terasing karena tidak dapat dikunjungi dari kota-kota lain dengan jalan darat.

Dalam graf tak berarah, garis e dengan titik ujung (v,w) menyatakan suatu garis yang menghubungkan titik v dengan titik w. Dalam graf berarah, garis tersebut menyatakan garis dari titik v ke titik w.

Dengan diketahuinya graf, maka himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya adalah tunggal. Tetapi hal ini tidak berlaku sebaliknya. Dengan diketahuinya himpunan garis, titik dan titik-titik ujung garis, maka dapat dibentuk beberapa graf yang “berbeda”. Perbedaan graf-graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan garis, dan posisi titik yang berbeda antara satu graf dengan graf yang lainnya.

Tetapi karena visualisasi titik dan garis (panjang garis, kelengkungan posisi titik dan lain-lain) tidak berpengaruh, maka graf-graf tersebut merupakan graf yang sama meskipun secara visual tampak berbeda.

Contoh 2
Gambarlah graf G dengan titik dan garis berikut ini
V(G) = {v1, v2, v3, v4}
E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}
Titik-titik ujung garis adalah :
Garis    Titik Ujung
e1    {v1,v3}
e2    {v2,v4}
e3    {v1}
e4    {v2,v4}
e5    {v3}

Penyelesaian :
Ada banyak graf yang dapat dibentuk. Semua graf tersebut sebenarnya menggambarkan objek yang sama, tetapi tampak berbeda karena letak titik, panjang garis dan kelengkungannya berbeda. Dua di antara graf-graf tersebut tampak pada Gambar 4 dan 5








                                                                                                                                                    
Graf juga banyak dipakai untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan Kecerdasan Buatan (Artificial Intelligence), seperti dalam contoh 3, yang merupakan suatu teka-teki yang banyak dipakai sebagai ilustrasi. Dalam hal ini, graf digunakan untuk menyatakan hubungan-hubungan yang terjadi di antara objek-objek. Dengan cara itu, deduksi ke kesimpulan akan lebih mudah dibuat.

Contoh 3
Ada sebuah pulau yang penghuninya hanya terdiri dari 2 macam yaitu : pemakan orang (cannibal) dan pemakan sayuran (vegetarian). Pada mulanya, ada 2 orang pemakan orang dan 2 orang pemakan sayuran di sisi barat sungai. Di sisi barat itu pula terdapat sebuah perahu kecil yang hanya dapat menampung paling banyak 2 orang. Masalahnya adalah bagaimana cara mengangkut keempat orang tersebut ke sisi timur sungai. Syaratnya adalah : jumlah pemakan manusia pada suatu sisi sungai tidak boleh lebih banyak dari jumlah pemakan sayuran di sisi yang sama, karena hal itu akan menyebabkan pemakan manusia akan memakan pemakan sayuran.
Penyelesaian:
Suatu cara penyelesaian yang sistematis adalah dengan menggambarkan semua kemungkinan keadaan, dan kemudian menghilangkan bagian-bagian yang tidak mungkin terjadi karena tidak memenuhi kendala yang diisyaratkan.
Misalkan simbol s menyatakan pemakan sayuran, o menyatakan pemakan orang, P menyatakan perahu dan simbol "/" menyatakan sungai. Dengan menggunakan simbol tersebut maka ssoP/o berarti suatu keadaan di mana di sisi barat sungai (di sebelah kiri simbol /) ada 2 orang pemakan sayuran dan satu orang pemakan orang, sedangkan di sisi timur sungai ada seorang pemakan orang. Perahu ada di sisi barat sungai.
Semua kemungkinan keadaan di sungai tersebut dapat digambarkan pada Gambar 6 (sumbu mendatar menyatakan jumlah pemakan sayur di timur sungai dan sumbu tegak menyatakan jumlah pemakan orang di timur sungai). Pada suatu titik tertentu, ada 2 kemungkinan posisi perahu (P), yaitu di kiri sungai atau di kanan sungai.

Selanjutnya, dihilangkan keadaan-keadaan yang tidak mungkin terjadi:
a.    Karena jumlah pemakan orang (o) di suatu sisi sungai tidak boleh lebih banyak dari jumlah pemakan sayurnya (s), maka titik-titik : s/Psoo, sP/soo, soo/Ps, sooP/s harus dihilangkan
b.    Perahu harus berada pada sisi sungai yang ada orangnya. Jika tidak demikian, maka tidak ada orang yang dapat menyeberang. Oleh karena itu, harus dihilangkan titik-titik   ssoo/P dan P/ssoo

Dengan adanya beberapa titik yang dihilangkan tersebut, maka didapatkan keadaan yang dinyatakan pada Gambar 7

                                                                                                                                                     
Dari titik-titik yang tersisa, dibuat garis-garisnya. Suatu garis menghubungkan 2 buah titik yang dapat dicapai satu dari yang lainnya. Sebagai contoh, titik ssoP/o dapat dihubungkan dengan titik o/Psso karena dari titik ssoP/o, perahu dapat mengangkut 2 orang pemakan sayur (s) ke sisi kanan sungai, sehingga didapatkan titik o/Psso. Kondisi ini juga berlaku sebaliknya. Dari titik o/Psso, perahu dapat mengangkut 2 orang pemakan sayur ke kiri sungai sehingga didapatkan titik ssoP/o. Dengan penambahan semua garis yang mungkin dibuat, maka didapatkan graf yang dinyatakan pada Gambar 8.

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, berarti harus dicari jalur (garis) yang menghubungkan titik ssooP/ (perahu dan semua orang yang terlibat berada di barat sungai) dengan titik /Pssoo (perahu dan semua orang yang terlibat berada di timur sungai)

Dari Gambar 8 didapatkan 2 kemungkinan jalur yaitu :
ssooP/  ss/Poo  ssoP/o  o/Psso  ooP/ss  /Pssoo
atau:
ssooP/  so/Pso  ssoP/o  o/Psso  ooP/ss  /Pssoo

Graf Tak Berarah
Berdasarkan jenis garis-garisnya, graf dibedakan dalam 2 kategori yaitu Graf Tak Berarah (Undirected Graph) dan Graf Berarah (Directed Graph = Digraph).

    Graf Bipartite
Definisi 2
Graf Sederhana (Simple Graph) adalah graf yang tidak mempunyai loop ataupun garis paralel.


Contoh 4
Gambarlah semua graf sederhana yang dapat dibentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis

Penyelesaian :
Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 buah titik. Karena ada 4 titik, maka ada   garis yang mungkin dibuat, yaitu garis-garis yang titik-titik ujungnya adalah {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, dan {c,d}.

Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih  2 di antaranya. Jadi ada ( 6  2 ) = 6! / 2! 4! = 15 buah graf yang mungkin dibentuk. Graf-graf tersebut dapat dilihat pada Gambar 9.

Definisi 3
Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis.

Teorema 1
Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah n(n-1) / 2  buah
Bukti
Misalkan G adalah suatu graf lengkap dengan n titik v1, v2,..., vn.
Ambil sembarang titik (sebutlah v1). Karena G merupakan graf lengkap, maka v1 dihubungkan dengan (n-1) titik lainnya (v2, v3, ... , vn). Jadi ada (n-1) buah garis.
Selanjutnya, ambil sembarang titik kedua (sebutlah v2). Karena G adalah graf lengkap, maka v2 juga dihubungkan dengan semua titik sisanya (v1, v3, ..., vn), sehingga ada (n-1) buah garis yang berhubungan dengan v2. Salah satu garis tersebut menghubungkan v2 dengan v1. Garis ini sudah diperhitungkan pada waktu menghitung banyaknya garis yang berhubungan dengan v1. Jadi, ada (n-2) garis yang belum diperhitungkan.
Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya garis yang berhubungan dengan v3, v4, ..., vn-1 dan yang belum diperhitungkan sebelumnya. Banyak garis yang didapat berturut-turut adalah : (n-3), (n-4), ...,3,2,1.
Jadi secara keseluruhan terdapat (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 2 + 1 =  n(n-1) / 2 buah garis.

Contoh 5
Gambarlah K2, K3, K4, K5, dan K6 !

Penyelesaian :


                                                                                                                                                
Kadang-kadang, titik-titik dalam suatu graf dapat dipecah menjadi 2 bagian, di mana titik-titik dalam satu bagian dihubungkan dengan titik-titik di bagian yang lain. Dengan demikian, graf terlihat seolah-olah "terpisah" menjadi 2 bagian.

Definisi 4
Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila V(G) merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V1 dan V2, dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam V1 dengan titik dalam V2.

Apabila dalam Graf Bipartite, setiap titik dalam V1 berhubungan dengan setiap titik dalam V2, maka graf-nya disebut Graf Bipartite Lengkap.
Jika V1 terdiri dari m titik dan V2 terdiri dari n titik, maka Graf Bipartite Lengkapnya sering diberi simbol Km,n.

Contoh 6
Tentukan mana di antara graf-graf berikut ini yang merupakan graf Bipartite dan Bipartite lengkap.

Penyelesaian :
a.    Jelas bahwa titik-titik graf-nya terbagi menjadi 2 bagian yaitu V1 = {v1, v2, v3} dan V2 = {v4, v5}. Setiap titik dalam V1 dihubungkan dengan setiap titik dalam  V2. Maka graf-nya merupakan K3,2.

    b.    Hanya merupakan graf bipartite saja karena titik-titik dalam graf terbagi menjadi 2 bagian, yaitu V1 = {v1, v3} dan V2 = {v2, v4}. Akan tetapi, tidak semua titik dalam V1 dihubungkan dengan semua titik dalam V2 (v1 tidak dihubungkan dengan v4).

    c.    Dengan pengaturan letak titik-titiknya, maka graf Gambar 11 (c) dapat digambarkan sebagai graf pada Gambar 12.














Tampak bahwa titik-titiknya terbagi menjadi 2 bagian yaitu V1 = {v1, v3, v5}   dan   V2 = {v2, v4, v6}. Setiap garis menghubungkan sebuah titik dalam V1 dengan sebuah titik dalam V2, sehingga graf-nya merupakan graf bipartite
d.    Perhatikan bahwa meskipun tampak berbeda, sebenarnya graf pda Gambar 11 (d) sama dengan graf Gambar 11 (a), sehingga graf Gambar 11 (d) adalah K3,2.

Posisi titik-titik dalam penggambaran graf kadang-kadang mempengaruhi pandangan, seperti halnya pada contoh (c) dan (d). Dalam kedua graf tersebut, semua titik tampaknya terhubung dan tidak dapat dipisahkan walaupun kenyataannya tidaklah demikian. Oleh karena itu, harus jeli dalam menentukan apakah suatu graf merupakan Graf Bipartite.